Rođen je 20. ožujka 1949. u Rijeci, od oca Ivana i majke Dinke rođene Valković. Roditelji su mu živjeli u župi Vrbnik na otoku Krku, gdje je rastao i završio osnovnu školu.
Kao svećenički kandidat Krčke biskupije završio je klasičnu gimnaziju u Pazinskom sjemeništu. Studij teologije započeo je u Rijeci, a nastavio u Zagrebu, gdje je diplomirao na Katoličkom bogoslovnom fakultetu.
Za svećenika Krčke biskupije zaređen je 29. lipnja 1975. godine u Krku. Prvu svećeničku službu vršio je kao biskupski tajnik krčkoga biskupa dr. Karmela Zazinovića. Potom je od 1976. do 1978. vršio službu župnoga vikara u Malom Lošinju i upravitelja župe Ćunski te upravitelja župe Veli Lošinj. Od 1978. ponovo je u službi biskupskoga tajnika. U isto vrijeme upisao je i poslijediplomski studij na Katoličkom bogoslovnom fakultetu u Zagrebu, gdje je u jesen 1979. postigao akademski stupanj magistra teologije u dogmatskoj specijalizaciji.
Krčki biskup poslao ga je potom u Rim, gdje je kao pitomac Papinskoga hrvatskog zavoda sv. Jeronima nastavio studij teologije na Papinskom sveučilištu Gregorijana i upisao studij crkvenoga prava na Papinskom lateranskom sveučilištu. Ovdje je postigao akademski stupanj licencijata iz kanonskog prava.
Po povratku iz Rima imenovan je kancelarom Biskupskoga ordinarijata u Krku (1986.–1987.) i generalnim vikarom Krčke biskupije (1987.–1989.) Od 1988. do 1997. predavao je crkveno pravo i dogmatsku teologiju na Teologiji u Rijeci. Sveti otac Ivan Pavao II. imenovao ga je 10. svibnja 1989. biskupom koadjutorom krčkim. Za biskupa je zaređen 25. lipnja 1989. u krčkoj katedrali. Iste godine 14. studenoga postao je dijecezanskim biskupom krčkim.
U BKJ, a potom u HBK, vršio je službu predsjednika Vijeća za laike i potpredsjednika Komisije “Justitia et pax”. Bio je članom i predsjednikom Biskupske komisije za Papinski hrvatski zavod sv. Jeronima u Rimu. Od konstituiranja Hrvatske biskupske konferencije bio je u svim mandatima član Stalnoga vijeća HBK. Godine 1993. izabran je za člana, a potom predsjednika Komisije HBK za odnose s državom. U tom su razdoblju pripremljeni i potpisani Ugovori između Svete Stolice i Republike Hrvatske.
Papa Ivan Pavao II. imenovao ga je zagrebačkim nadbiskupom 5. srpnja 1997. godine. Službu zagrebačkoga nadbiskupa i metropolite preuzeo je 4. listopada iste godine u zagrebačkoj katedrali, od dotadašnjega nadbiskupa kardinala Franje Kuharića. Iste je godine izabran za predsjednika HBK, a 2002. je reizabran i tu je službu obnašao do 2007. godine.
U travnju 2001. izabran je za prvoga potpredsjednika Vijeća biskupskih konferencija Europe (CCEE), a 2006. je reizabran na istu dužnost.
Sudjelovao je na prvoj (1991.) i drugoj (1999.) posebnoj Sinodi biskupa za Europu u Rimu. Na drugoj je izabran i za člana Posebnoga vijeća Generalnoga tajništva Biskupske sinode za Europu.
Godine 1998., kao zagrebački nadbiskup i predsjednik HBK, pozdravio je u Zagrebu papu Ivana Pavla II. za njegova drugoga apostolskog pohoda Hrvatskoj, a u Mariji Bistrici, za obreda beatifikacije, zamolio ga je da kardinala Alojzija Stepinca proglasi blaženim. Godine 2003. ponovo je kao predsjednik HBK pozdravio papu Ivana Pavla II. za njegova trećega apostolskog pohoda Hrvatskoj prilikom kojega je pohodio Rijeku i Trsat, Dubrovnik, Osijek i Đakovo te Zadar.
Papa Ivan Pavao II. uvrstio ga je u Zbor kardinala Svete Rimske Crkve na svečanom Konzistoriju u Rimu, 21. listopada 2003. godine. Papa Franjo prihvatio je njegovo odreknuće od službe 15. travnja 2023.
Kardinal Bozanić član je Kardinalskog vijeća za nadzor Instituta za religijske poslove (IOR), Kongregacije za bogoštovlje i disciplinu sakramenata, Kongregacije za katolički odgoj, Papinskoga vijeća za laike, Papinskog vijeća za promicanje nove evangelizacije i Papinskog vijeća za sredstva društvenih komunikacija.
